Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），且a、b、c成等比数列．
（1）求随圆c的离心率e；
（2）若P为椭圆c上一点，是否存在过点F₂、P的直线l，使l与y轴的交点Q满足

PQ

=2

PF2

？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设b²=ac及b²=a²-c²，由此能求出椭圆的离心率e的值．
（2）假设存在满足题意的直线l，设l的方程为：y=k（x-c），易求Q点坐标，由

PQ

=2

PF2

可得P点坐标，把P点坐标代入椭圆方程，借助离心率可得k的方程，易判断该方程解的情况；

解答：（1）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），
且a，b，c成等比数列．
∴b²=ac及b²=a²-c²，
∴ac=a²-c²，两边同除以a²，得
e=1-e²，
解得e=

5 -1

2

，e=

- 5 -1

2

（舍）．
∴e=

5 -1

2

；
（2）不存在满足题意的直线l，理由如下：
若存在，该直线必有斜率，设l的方程为：y=k（x-c），
令x=0，得y=-ck，故Q（0，-ck），
由

PQ

=2

PF2

，知F₂为P、Q的中点，则P（2c，ck），
把点P坐标代入椭圆方程，得

4c2

a2

+

c2k2

b2

=1①，
由（1）知，

c2

a2

=(

5 -1

2

)2=

3- 5

2

，

c2

b2

=

c2

a2-c2

=

e2

1-e2

=

5 -1

2

，
∴①可化为4×

3- 5

2

+

5 -1

2

k²=1，即

5 -1

2

k²=2

5

-5＜0，无解，
故不存在这样的直线l．

点评：本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查学生分析问题解决问题的能力，本题具有一定的开放性，给学生提供了开放的思维空间．