Question

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）对任意x、y∈R恒成立，在R上单调递减．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若对一切x∈[

π

4

，

π

2

]，关于x的不等式f[2sin2(

π

4

+x)]-f(

3

cos2x)-f(m)＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）对任意x、y∈R恒成立，利用赋值法：令x=y=0可可求f（0）=0，令y=-x可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，从而可证
（2）由函数f（x）是奇函数及f[2sin2(

π

4

+x)]-f(

3

cos2x)-f(m)＜0和f（x+y）=f（x）+f（y）得f[2sin2(

π

4

+x)]＜f(

3

cos2x+m)，结合函数f（x）是R上的减函数 可得2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x＞m对一切x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立，则m＜2sin2x(x+

π

4

)-

3

cos2x的最小值，结合已知x的范围及赋值角公式可求

解答：.证明：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）对任意x、y∈R恒成立
令x=y=0可得，f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
令y=-x
∴f（0）=f（x）+f（-x）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数；（4分）
（2）∵函数f（x）是奇函数
由f[2sin2(

π

4

+x)]-f(

3

cos2x)-f(m)＜0
得f[2sin2(

π

4

+x)]＜f(

3

cos2x)+f(m)
即f[2sin2(

π

4

+x)]＜f(

3

cos2x+m)（6分）
又∵f（x）是R上的减函数 2sin2(

π

4

+x)＞

3

cos2x+m（8分）
即2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x＞m对一切x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立
2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)+1（10分）

当x∈[

π

4

，

π

2

]时，2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，sin(2x-

π

3

)∈[

1

2

，1]（12分）
2sin(2x-

π

3

)+1的最小值为2，
∴m＜2（14分）

点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值及证明函数的奇偶性，函数的奇偶性与函数的单调性的知识综合求解参数的范围，要注意函数的恒成立问题与函数的最值的转化．