Question

　如图，在三棱柱BCD－B₁C₁D₁与四棱锥A－BB₁D₁D的组合体中，已知BB₁⊥平面BCD，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝，AD＝3，BB₁＝1．

(Ⅰ) 设O是线段BD的中点，

求证：C₁O∥平面AB₁D₁；

(Ⅱ) 求直线AB₁与平面ADD₁所成的角．

Answer 1

本题主要考查空间线线、线面位置关系，线面角等基础知识，

同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。

 

(Ⅰ) 证明：取B₁D₁的中点E，连结C₁E，OA，则A，O，C共线，且 C₁E＝OA，

因为BCD－B₁C₁D₁为三棱柱，

所以平面BCD∥平面B₁C₁D₁，

故C₁E∥OA，

所以C₁EAO为平行四边形，

从而C₁O∥EA．

又因为C₁O平面AB₁D₁，

EA平面AB₁D₁，

所以C₁O∥平面AB₁D₁．………………………………………………7分

(Ⅱ) 解：过B₁在平面B₁C₁D₁内作B₁A₁∥C₁D₁，使B₁A₁＝C₁D₁．

连结A₁D₁，AA₁．

过B₁作A₁D₁的垂线，垂足为F，

则B₁F⊥平面ADD₁，

所以∠B₁AF为AB₁与平面ADD₁所成的角．

在Rt△A₁B₁F中，B₁F＝A₁B₁sin 60°＝．

在Rt△AB₁F中，AB₁＝，

故sin∠B₁AF ＝=．

所以∠B₁AF＝45°．

即直线AB₁与平面ADD₁所成角的大小为45°．     …………………14分