Question

1．已知函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=-x²+2x，若函数g（x）=f（x）-a|x-1|在区间[0，4]上有4个零点，则实数a的取值范围是（0，8-4$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 作函数f（x）与y=a|x-1|在区间[0，4]上的图象，求导f′（x）=-4x+12，从而由导数的几何意义求得．

解答 解：由题意，作函数f（x）与y=a|x-1|在区间[0，4]上的图象如下，
，
当x∈[2，4]时，x-2∈[0，2]，
f（x）=2f（x-2）=-2x²+12x-16，
f′（x）=-4x+12，
故由导数的几何意义可得，
$\frac{-2{x}^{2}+12x-16}{x-1}$=-4x+12，
解得，x=1+$\sqrt{3}$或x=1-$\sqrt{3}$，
故a=-4-4$\sqrt{3}$+12=8-4$\sqrt{3}$，
或a=-4+4$\sqrt{3}$+12=8+4$\sqrt{3}$（舍去），
结合图象可知，实数a的取值范围是（0，8-4$\sqrt{3}$）；
故答案为：（0，8-4$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及导数的综合应用．