Question

已知正四棱柱中，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）在线段上是否存在点，当时，平面平面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析

试题分析：（1）连结交于，连结，在正四棱柱中底面为正方形，所以可知为的中点，因为是的中点，由中位线可得∥.根据线面平行的判定定理即可证得平面。（2）由正四棱柱可知侧棱垂直与底面，从而可得侧棱垂直与，因为底面为正方形可得，由线面垂直的判定定理可证得平面，从而得证。（3）取的中点，连结，可证得为平行四边形，从而得到，当为中点时，同理可证的为平行四边形，从而可得，由平行公理可知，在证也为平行四边形，从而可证得，根据面面平行的判定定理可证得平面平面，此时。

解：（1）在正四棱柱中,连结交于，连结.
因为为正方形，
所以为中点.                                        1分
在中，
因为为中点，
所以∥.                                          2分
因为平面，平面，                 4分
所以∥平面.                                    5分
（2） 因为为正方形，
所以.          6分
因为平面，
所以.         7分
因为,      8分
所以平面.    9分
因为，
所以.          10分
（3）当，即点为线段的中点时，平面平面. 11分     
因为且，
所以四边形是平行四边形.             
所以.                                          12分
取的中点，连结.
因为为中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形.                        
所以.                                         13分
同理.
所以.
因为，，
所以平面平面.                              14分