Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1，（a＞0），F(x)=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

若f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立
（1）求F（x）的表达式；
（2）当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）=0，且对称轴为x=-1，用待定系数法求出f（x）的解析式，从而求出F（x）的解析式；
（2）由f（x）得g（x）的解析式是二次函数，在[-2，2]上是单调函数，得对称轴在[-2，2]外，得出k的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx+1（a＞0），
f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立；
∴x=-

b

2a

=-1，且a-b+1=0；
即

b=2a a-b+1=0

，
解得

a=1 b=2

；
∴f（x）=x²+2x+1，
∴F（x）=

x2+2x+1(x＞0) -x2-2x-1(x＜0)

；
（2）∵f（x）=x²+2x+1，
∴g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
在[-2，2]上是单调函数，
∴-（2-k）≥2，或-（2-k）≤-2，
即k≥4，或k≤0；
∴k的取值范围是{k|k≤0，或k≥4}．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及函数单调性的应用问题，是基础题．