Question

已知函数f(x)=sin2x+2

3

sinxcosx+sin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）若x=x₀(0≤x0≤

π

2

)为f（x）的一个零点，求sin2x₀的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin(2x-

π

6

)+

1

2

，由此求得最小正周期和值域．
（2）由f(x0)=2sin(2x0-

π

6

)+

1

2

=0 求得sin(2x0-

π

6

)=-

1

4

＜0，根据x₀的范围可得2x₀-

π

6

的范围，从而求出cos(2x0-

π

6

)=

15

4

，再利用二倍角公式、两角和的正弦公式求出sin2x₀的值．

解答：解：（1）易得f(x)=sin2x+

3

sin2x+

1

2

(sin2x-cosx2)=

1-cos2x

2

+

3

sin2x-

1

2

cos2x=

3

sin2x-cos2x+

1

2

=2sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
所以f（x）周期π，值域为[-

3

2

，

5

2

]；
（2）由f(x0)=2sin(2x0-

π

6

)+

1

2

=0，得sin(2x0-

π

6

)=-

1

4

＜0，
又由0≤x0≤

π

2

得-

π

6

≤2x0-

π

6

≤

5π

6

，
所以-

π

6

≤2x0-

π

6

≤0，故cos(2x0-

π

6

)=

15

4

，
此时，sin2x0=sin[(2x0-

π

6

)+

π

6

]=sin(2x0-

π

6

)cos

π

6

+cos(2x0-

π

6

)sin

π

6

=-

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

=

15 - 3

8

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域、周期性，二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．