Question

已知椭圆D：的左焦点为F，其左右顶点为A、C，椭圆与y轴正半轴的交点为B，△FBC的外接圆的圆心P（m，n）在直线x+y=0上．
（Ⅰ）求椭圆D的方程；
（Ⅱ）已知直线，N是椭圆D上的动点，NM⊥l，垂足为M，是否存在点N，使得△FMN为等腰三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出FC的垂直平分线方程，BC的垂直平分线的方程，从而可得P的坐标，利用P（m，n）在直线x+y=0上，结合b²=1-c²，即可求得椭圆D的方程；
（Ⅱ）设N（x，y），求出|MN|，|FN|，|MF|，利用△FMN为等腰三角形，分类讨论，即可求得点N的坐标．
解答：解：（Ⅰ）由题意知，圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，
设F的坐标为（-c，0）（c＞0），则FC的垂直平分线方程为…①
因为BC的中点坐标为，BC的斜率为-b
所以BC的垂直平分线的方程为…②
联立①②解得：，
即，
因为P（m，n）在直线x+y=0上，所以…（4分）
即（1+b）（b-c）=0
因为1+b＞0，所以b=c
再由b²=1-c²求得
所以椭圆D的方程为x²+2y²=1…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F，椭圆上的点横坐标满足-1≤x≤1
设N（x，y），由题意得M，则|MN|=，|FN|=，|MF|=
①若|MN|=|FN|，即=
与x²+2y²=1联立，解得，显然不符合条件…（9分）
②|MN|=|MF|，即
与x²+2y²=1联立，解得：（显然不符合条件，舍去）
所以满足条件的点N的坐标为…（11分）
③若|FN|=|MF|，即=
解得x=0，（显然不符合条件，舍去）
此时所以满足条件的点N的坐标为…（13分）
综上，存在点N或，使得△FMN为等腰三角形…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．