Question

已知：a，b，c，d∈R．
（Ⅰ）求证：（ac-bd））²≥（a²-b²）（c²-d²）
（Ⅱ）若点P（

1

cosα

，tanα）在直线ax-by-2=0上，求证：a²-b²≤4．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据（ad-bc）²≥0，得到a²d²-2abcd+b²c²≥0，即可得到a²c²+b²d²-2abcd≥a²c²-a²d²-b²c²+b²d²，整理即可得到结论；
（Ⅱ）先根据点P（

1

cosα

，tanα）在直线ax-by-2=0上，得到a

1

cosα

-btanα-2=0，即a

1

cosα

-btanα=2；再结合上一问的结论即可得证．

解答：证明：（Ⅰ）因为（ad-bc）²≥0，
所以a²d²-2abcd+b²c²≥0，
所以a²c²+b²d²-2abcd≥a²c²-a²d²-b²c²+b²d²，
所以（ac-bd）²≥（a²-b²）（c²-d²）．
（Ⅱ）因为点P（

1

cosα

，tanα）在直线ax-by-2=0上，
所以a

1

cosα

-btanα-2=0，
可得：a

1

cosα

-btanα=2．
由（Ⅰ）可知，(a

1

cosα

-btanα)2≥（a²-b²）[

1

(cosα)2

-(tanα)2]=a²-b²．
所以a²-b²≤4．

点评：本题主要考查不等式的证明．解决问题的关键是根据（ad-bc）²≥0，得到a²d²-2abcd+b²c²≥0，进而得到a²c²+b²d²-2abcd≥a²c²-a²d²-b²c²+b²d²．