Question

已知点A、B、C、D的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），D（-2cosα，-t），α∈（

π

2

，

3π

2

）．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（2）若

AC

•

BC

=-1，求

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

的值．
（3）若f(α)=

OC

•

OD

-t2+2在定义域α∈（

π

2

，

3π

2

）有最小值-1，求t的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐标运算与向量的模|

AC

|=|

BC

|，可求得sinα=cosα，从而可求得角α的值；
（2）由

AC

•

BC

=-1可求得sinα+cosα=

2

3

，从而可求得sin2α，而

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

可化简为2sinαcosα，从而可得答案；
（3）依题意记y=f（α）=-2cos²α-tsinα-t²+2，令x=sinα，结合题意可求得y=2x²-tx-t²，x∈（-1，1），利用二次函数的单调性与最值即可求得t的值．

解答：解：（1）∵

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3），
∴|

AC

|=

(cosα-3)2+sin2α

=

10-6cosα

，
|

BC

|=

(sinα-3)2+cos2α

=

10-6sinα

…（2分）
由|

AC

|=|

BC

|得sinα=cosα，
又α∈（

π

2

，

3π

2

），
∴α=

5π

4

…（5分）
（2）由

AC

•

BC

=-1得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．
∴sinα+cosα=

2

3

，①（6分）
又

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

=

2sinα(sinα+cosα)

1+ sinα cosα

=2sinαcosα．（7分）
由①式两边平方得1+2sinαcosα=

4

9

，
∴2sinαcosα=-

5

9

．（8分）
∴

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

=-

5

9

．（9分）
（3）依题意记y=f（α）=-2cos²α-tsinα-t²+2
=-2（1-sin²α）-tsinα-t²+2
=2sin²α-tsinα-t²（10分）
令x=sinα，∵α∈（

π

2

，

3π

2

），
∴sinα∈（-1，1），
∴y=2x²-tx-t²，x∈（-1，1）（11分）
其对称轴为x=

t

4

，
∵y=2x²-tx-t²在x∈（-1，1）上存在最小值，
∴对称轴x=

t

4

∈（-1，1），
∴t∈（-4，4）（12分）
当且仅当x=

t

4

时，y=2x²-tx-t²取最小值，为y_min=2×

t2

16

-t•

t

4

-t²=-

9

8

t²=-1，
∴t=±

2 2

3

（14分）

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查平面向量的坐标运算，考查二次函数性质的综合应用，属于难题．