Question

【题目】【2018广东深圳市高三第一次调研考试】已知函数．

（I）讨论函数的单调性；

（II）当时，关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）．

【解析】试题分析：(1)求出的定义域以及导函数，分四种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；(2) ，等价于，讨论的范围，利用导数研究函数的单调性，分别令求出函数的最小值，令最小值大于零，可筛选出符合题意的的取值范围.

试题解析：(1) 的定义域为.

.

由， ，得， .

①当时， ，在时， ；在时， ，

所以在单调递减， 在单调递增；

②当时， ，在时， ；在时， ；在时， .所以在， 单调递增， 在单调递减；

③当时， 在上恒成立，所以在单调递增；

④当时， .在时， ；在时， ；在时， ，所以在， 单调递增， 在单调递减；

(2)当时， ， ，即.

设， ，只需，在上恒成立即可.

因为， .

又，所以.

令，得.

当时， ，在上，故单调递增，

所以恒成立；

当时， ，即，故.

故当时， ，当时， ，此时函数在上单调递减.

又，所以在上，与题设矛盾.

当时， ，此时函数在上单调递减.

又，所以在上，与题设矛盾.

综上， .