Question

【题目】设．

（Ⅰ）若在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设，且，若在[1，e]上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）P≥1．（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求函数的导数， ，根据题意可得，当恒成立，即求的最大值， ，利用基本不等式求最大值；（Ⅱ）法一，原问题等价于 ，求的取值范围，法二，等价于在上有解，即 ，求的取值范围.

试题解析：解：（I）由 f（x）=px﹣﹣2lnx，

得=．

要使f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调增函数，只需f′（x）≥0，

即px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）内恒成立，

从而P≥1．

（II）解法1：g（x）=在[1，e]上是减函数，

所以[g（x）]min=g（e）=2，[g（x）]max=g（1）=2e，即g（x）∈[2，2e]．

当0＜p＜1时，由x∈[1，e]，得x﹣，

故，不合题意．

当P≥1时，由（I）知f（x）在[1，e]连续递增，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，

∴原命题等价于[f（x）]max＞[g（x）]min=2，x∈[1，e]，

由，解得

综上，p的取值范围是（，+∞）．

解法2：原命题等价于f（x）﹣g（x）＞0在[1，e）上有解，

设F（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣﹣2lnx﹣，

∵

=，

∴F（x）是增函数，

∴[F（x）]max=F（e）＞0，解得

∴p的取值范围是（，+∞）．