Question

【题目】如图， 为圆的直径，点在圆上， ，矩形所在的平面与圆所以的平面互相垂直，已知.

（1）求证：平面平面；

（2）当的长为何值时，平面与平面所成的锐二面角的大小为？

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）当的长为时，平面与平面所成的锐二面角大小为.

【解析】【试题分析】（1）先运用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再运用面面垂直的判定定理分析推证；（2）依据题设条件建立空间直角坐标系，再运用向量的有关知识及数量积公式分析求解：

解：（1）平面平面，

平面平面，∴平面.

∵平面，∴，

又∵为圆的直径，∴，∴平面.

∵平面，∴平面平面.

（2）设中点为，以为坐标原点， 、、方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）.

设，则点的坐标为，

则，又，

∴.

设平面的法向量为，则，即

令，解得.∴.

由（1）可知平面，取平面的一个法向量为

∴，即，解得.

因此，当的长为时，平面与平面所成的锐二面角大小为.