Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线与的两个交点间的距离为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）分别过作满足，设与的上半部分分别交于两点，求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）3.

【解析】（Ⅰ）由已知，根据椭圆对称性易知椭圆过点，结合离心率及，即可求出椭圆方程；（Ⅱ）根据题意可设直线，，由弦长公式可求出被椭圆截得的弦长，由点到直线距离公式可求出点到直线距离，从而可得的面积，并求出其最大值，由椭圆对称性可知四边形面积与的面积，从而问题得解.

试题解析：（Ⅰ）易知椭圆过点，所以， ①

又， ②

， ③

③得，，

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）设直线，它与的另一个交点为.

与联立，消去，得，

.

，

又到的距离为，

所以.

令，则，所以当时，最大值为3.又

所以四边形面积的最大值为3.