Question

如图所示，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于B₁、C₁．将△AB₁C₁沿B₁C₁折起到△A₁B₁C₁的位置，使点A₁在平面BB₁C₁C上的射影恰是线段BC的中点M．求：

　　(1)二面角A₁-B₁C₁-M的大小；

　　(2)异面直线A₁B₁与CC₁所成角的大小(用反三角函数表示)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)连结AM、A1G 　　∵　G是正三角形ABC的中心，且M为BC的中点 　　∴　A、G、M三点共线，AM⊥BC 　　∵　B1C1⊥AM于G 　　即GM⊥B1C1，GA1⊥B1C1 　　∴　∠A1GM是二面角A1-B1C1-M的平面角 　　∵　点A1在平面BB1C1C上的射影为M 　　∴　A1M⊥MG，∠A1MG=90° 　　在Rt△A1GM中，由A1G=AG=2GM 　　得∠A1GM=60° 　　即二面角A1-B1C1-M的大小是60°． 　　(2)过B1作C1C的平行线交BC于P 　　则∠A1B1P等于异面直线A1B1与CC1所成的角 　　由PB1C1C是平行四边形得B1P=C1C=1=BP　PM=BM-BP=，A1B1=AB1=2 　　∵　A1M⊥面BB1C1C于M 　　∴　A1M⊥BC，∠A1MP=90° 　　在Rt△A1GM中 　　A1M=A1G·sin60°= 　　在Rt△A1MP中 　　A1P2=A1M2+PM2 　　　　= 　　在△A1B1P中，由余弦定理得 　　cos∠A1B1P= 　　　　　　　= 　　∴　异面直线A1B1与CC1所成角的大小为arccos．