Question

如图所示，正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，
(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求二面角E-DF-C的余弦值；
(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论。

Answer 1

解：(1)在△ABC中，E、F分别是AC、BC的中点， ∴EF∥AB， 又AB平面DEF，EF平面DEF， ∴AB∥平面DEF。
(2)∵AD⊥CD，BD⊥CD， ∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角， ∴AD⊥BD，AD⊥平面BCD， 如图，取CD的中点M，连接EM，则EM∥AD， ∴EM⊥平面BCD， 过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF， ∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角， 易知，在Rt△EMN中，EM=1，， ∴。 (3)在线段BC上存在点P，使AP⊥DE， 证明如下：如图（甲），在线段BC上取点P，使， 过P点作PQ⊥CD于点Q，连接AQ， ∴PQ⊥平面ACD， ∴PQ⊥DE， ，且AD=2， ∴∠DAQ=30°， 又△ADE为等边三角形， ∴AQ⊥DE， 又AQ∩PQ=Q， ∴DE⊥平面APQ， ∵AP平面APQ， ∴AP⊥DE．