Question

2．已知三棱锥P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，AB=2$\sqrt{3}$，AC=2，则三棱锥P-ABC的体积为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，由于三棱锥P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，可得PO是三棱锥P-ABC的高，AC⊥BC．求出BC，利用三棱锥的体积计算公式可得结论．

解答 解：如图所示，
∵三棱锥P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，
∴PO是三棱锥P-ABC的高，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC．
∵AB=2$\sqrt{3}$，AC=2，
∴BC=2$\sqrt{2}$，
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．