Question

20．A（a，a′），B（b，b′）是圆x²+y²=2上任意的两点，若ab+a′b′=-1，则线段AB的长是（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{4-2\sqrt{2}}$

Answer 1

分析 设A（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），B（$\sqrt{2}$cosβ，$\sqrt{2}$sinβ），则aa′+bb′=2cos（α-β）=-1，可设α-β=$\frac{2π}{3}$，再结合参数α，β的几何意义得∠AOB=$\frac{2π}{3}$，再利用余弦定理可得|AB|的长．

解答 解：设A（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），B（$\sqrt{2}$cosβ，$\sqrt{2}$sinβ），
则aa'+bb'=2cos（α-β）=-1，可设α-β=$\frac{2π}{3}$，
再结合参数α，β的几何意义得∠AOB=$\frac{2π}{3}$，
因此，由余弦定理可得|AB|=$\sqrt{2+2-2\sqrt{2}•\sqrt{2}•（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{6}$，
故选：A．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查参数方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．