Question

设函数f（x）=ax+

1

x+b

（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，1）处的切线与x轴平行．
（1）求f'（x）；   
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由基本函数的导数公式、导数的四则运算和复合函数的求导法则，对函数进行求导即可
（2）由曲线y=f（x）在点（2，1）处的切线与x轴平行，根据导数的几何意义得f（2）=1，f′（2）=0，由此列方程组，解得a、b的值，注意a、b的取值范围即可

解答：解：（1）∵f（x）=ax+

1

x+b

（a，b∈Z），
∴f′（x）=（ax）′+（

1

x+b

）′
=a-

1

(x+b)2

×（x+b）′
=a-

1

(x+b)2

（2）∵曲线y=f（x）在点（2，1）处的切线与x轴平行．
∴f（2）=1，f′（2）=0
∴

2a+ 1 2+b =1 a- 1 (2+b)2 =0

解得

a=1 b=-3

或

a= 1 4 b=0

∵a，b∈Z，
∴

a=1 b=-3

故   f(x)=x+

1

x-3

．

点评：本题考查了基本函数的导数公式，导数四则运算，复合函数的导数，导数的几何意义等基础知识