题目内容
3.(1)已知a,b,c是全不相等的正实数,求证$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{a+c-b}{b}$+$\frac{a+b-c}{c}>3$(2)已知:△ABC的三条边分别为a,b,c.求证:$\frac{a+b}{1+a+b}>\frac{c}{1+c}$.
分析 (1)对分式分解,利用均值定理可得.
(2)构造函数f(x)=$\frac{x}{1+x}$=1-$\frac{1}{1+x}$;只需判断函数的单调性即可.
解答 解:(1)∵$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{a+c-b}{b}$+$\frac{a+b-c}{c}$
=$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$-3
∵a,b,c是全不相等的正实数,
∴$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$-3
=$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$-3>6-3=3;
(2)令f(x)=$\frac{x}{1+x}$=1-$\frac{1}{1+x}$;
由1+x递增,得f(x)在(0,+∞)为增函数,
∵a+b>c,
∴f(a+b)>f(c)
∴$\frac{a+b}{1+a+b}>\frac{c}{1+c}$.
点评 考查了均值定理和利用函数证明不等式.难点是函数的构造,应细心观察.
练习册系列答案
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第2组 | (90,105] | ① | 0.35 |
第3组 | (105,120] | 30 | ② |
第4组 | (120,135] | 20 | 0.20 |
第5组 | (135,150] | 10 | 0.10 |
合计 | 100 | 1.00 |
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