Question

已知z是虚数，是实数．
（1）求z对应复平面内动点A的轨迹；
（2）设u=3iz+1，求u对应复平面内动点B的轨迹；
（3）设，求v对应复平面内动点C的轨迹．

Answer 1

【答案】分析：（1）由z∈R的性质可知，z=，利用此知识，可得，
因为，可求得|z|²=4，即|z|=2．也可直接将设z=x+yi（x、y∈R）求解．
（2）由u=3iz+1得u-1=3iz，两边取模可得结论．
（3）因为z对应复平面内动点A的轨迹是中心在原点，半径等于2的圆，故可设z=2（cosθ+sinθ），（θ≠π），化简整理即可．
解答：解：（1），因为z是虚数，所以，于是|z|²=4，即|z|=2，且z≠±2，因此动点A轨迹是中心在原点，半径等于2的圆，但去掉两个点（2，0）与（-2，0）．
（2）由u=3iz+1得u-1=3iz．由（1）及题设知|z|=2，z≠±2，所以
|u-1|=6，且u-1≠±6i
因此动点B的轨迹是圆，中心在（1，0），半径等于6，但去掉两点（1，6）与（1，-6）
（3）设z=2（cosθ+sinθ），（θ≠π）则v=2（cosθ+isinθ）+=
再令v=x+yi（x，y∈R），则，消去θ得，其中x∈
所以动点C的轨迹是中心在原点，长轴在x轴上的椭圆，，去掉两点
点评：本题考查复数的运算、复数的集合意义，综合性较强，难度稍大．