题目内容

设平面内的向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ，点P是直线OM上的一个动点，求当 $数学公式$ 取最小值时， $数学公式$ 的坐标及∠APB的余弦值．

解：由题意，可设 $\text{[math]}$ =（x，y），∵点P在直线OM上，
∴ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，而 $\text{[math]}$ ，
∴x-2y=0，即x=2y，故 $\text{[math]}$ =（2y，y），
又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =（1-2y，7-y）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =（5-2y，1-y），
所以 $\text{[math]}$ =（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5y²-20y+12，
当y= $\text{[math]}$ =2时， $\text{[math]}$ =5y²-20y+12取最小值-8，
此时 $\text{[math]}$ =（4，2）， $\text{[math]}$ =（-3，5）， $\text{[math]}$ =（1，-1），
∴cos∠APB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：可设 $\text{[math]}$ =（x，y），由 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线可得x=2y，进而可得 $\text{[math]}$ =5y²-20y+12，可知当y=2时取最小值，可得 $\text{[math]}$ 的坐标，而∠APB的余弦值等于 $\text{[math]}$ ，代入坐标可求．
点评：本题考查向量共线的条件，向量的坐标运算，数量积的坐标表示，向量的模的求法及利用数量积计算夹角的余弦，综合性强，属中档题．