题目内容
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD1∥平面AEC；
（Ⅱ）求证：BD1⊥平面ACB1．
考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连结EO，由已知得EO∥BD1，由此能证明BD1∥平面AEC．
（Ⅱ）正方形ABCD中，BD⊥AC，由已知得DD1⊥AC，从而AC⊥BD1，同理可证AB1⊥BD1，由此能证明BD1⊥平面ACB1．
（Ⅱ）正方形ABCD中，BD⊥AC，由已知得DD1⊥AC，从而AC⊥BD1，同理可证AB1⊥BD1，由此能证明BD1⊥平面ACB1．
解答：
证明：（Ⅰ）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连结EO，
∵EO为△D1DB的中位线，
∴EO∥BD1，
又EO?平面AEC，BD1不包含于平面AEC，
∴BD1∥平面AEC．
（Ⅱ）正方形ABCD中BD⊥AC，
∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC，
∵DD1∩DB=D，∴AC⊥平面D1DB，
且D1B?平面D1DB，∴AC⊥BD1，
同理可证AB1⊥BD1，又AC∩AB1=A，
∴BD1⊥平面ACB1．
∵EO为△D1DB的中位线，
∴EO∥BD1，
又EO?平面AEC，BD1不包含于平面AEC，
∴BD1∥平面AEC．
（Ⅱ）正方形ABCD中BD⊥AC，
∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC，
∵DD1∩DB=D，∴AC⊥平面D1DB，
且D1B?平面D1DB，∴AC⊥BD1，
同理可证AB1⊥BD1，又AC∩AB1=A，
∴BD1⊥平面ACB1．
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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