Question

19．如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，AP=BP=AB，BC⊥平面PAC．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求三棱锥P-ABC的体积．
（Ⅲ）（理科做，文科不做）求二面角B-AP-C的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中点D，连结PD、CD．由已知可得PD⊥AB且CD⊥AB．然后利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PCD．进一步得到PC⊥AB；
（Ⅱ）由BC⊥平面PAC，得BC⊥AC，BC⊥PC，求解三角形可得AC⊥PC．求出三角形APC的面积，然后利用等积法求得三棱锥P-ABC的体积；
（Ⅲ）取AP中点E，连结BE，CE．由题意可证∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．然后求解三角形可得sin∠BEC=$\frac{BC}{BE}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．即二面角B-AP-C的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

解答 （Ⅰ）证明：取AB中点D，连结PD、CD．
∵AP=BP，∴PD⊥AB．
∵AC=BC，∴CD⊥AB． 
又PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．
∵PC?平面PCD，∴PC⊥AB；
（Ⅱ）解：∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AC，BC⊥PC，
又AC=BC=2，∴AB=$2\sqrt{2}$，则AB=AP=PB=$2\sqrt{2}$，
∴PC=2，则PC²+AC²=PA²，即AC⊥PC．
∴${S}_{△APC}=\frac{1}{2}×2×2=2$，${V}_{P-ABC}={V}_{B-APC}=\frac{1}{3}•{S}_{△APC}•BC=\frac{1}{3}×2×2=\frac{4}{3}$；
（Ⅲ）解：取AP中点E，连结BE，CE．
∵AP=BP，∴BE⊥AP，
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AP，
又∵BE∩BC=B，∴AP⊥平面BEC，则AP⊥EC．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AC，
又∵AC=BC=2，∴AB=2$\sqrt{2}$，
∵AP=BP=AB，∴$BE=\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\sqrt{6}$．
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥CE，则∠BCE=90°．
∴在△BCE中，sin∠BEC=$\frac{BC}{BE}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故二面角B-AP-C的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查了二面角的平面角的求法，正确找出二面角的平面角是解题的关键，训练了利用等积法求多面体的体积，属中档题．