Question

已知{a_n}是递增数列，其前n项和为S_n，a₁＞1，且10S_n=（2a_n+1）（a_n+2），n∈N⁺．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）设b_n=a_n-，若对于任意的n∈N⁺．，不等式恒成立，求正整数m的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）令n=1代入10S_n=（2a_n+1）（a_n+2），求得a₁的值，根据 ，转化为等差数列，可以求得数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项a_n代入b_n=a_n-，要使得不等式恒成立只需 ≤最小值即可，转化为求某个数列的最值问题．
解答：解：（Ⅰ）∵10S_n=（2a_n+1）（a_n+3），
∴10a₁=（2a₁+1）（a₁+2），得2a₁²-5a₁+2=0，
解得a₁=2，或 ．
由于a₁＞1，所以a₁=2．
∵10S_n=（2a_n+1）（a_n+2），∴10S_n=2a_n²+5a_n+2．
故10a_n+1=10S_n+1-10S_n=2a_n+1²+5a_n+1+2-2a_n²-5a_n-2，
整理，得2（a_n+1²-a_n²）-5（a_n+1+a_n）=0，
即（a_n+1+a_n）[2（a_n+1-a_n）-5]=0．
因为{a_n}是递增数列，且a₁=2，故a_n+1+a_n≠0，
因此 ．
则数列{a_n}是以2为首项，为公差的等差数列．
所以 ．
（Ⅱ）b_n=a_n-，
不等式
=
=．
设f（n）=，
则
=
=．
所以f（n+1）＞f（n），即当n增大时，f（n）也增大．
要使不等式
对于任意的n∈N^*恒成立，只需 ≤f（n）_min即可．
因为f（n）_min=f（1）=，所以 ，
即m≤．
所以，正整数m的最大值为8．
点评：此题是个难题．考查根据 求数列通项公式，体现了分类讨论的思想．特别是（2）的设置，增加了题目的难度，对于恒成立问题，一般采取分离参数的方法，转化为求最值问题，体现 转化的思想．并根据数列的单调性求数列的最值．