Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=（n+1）²+c，试探究{a_n}是等差数列的充要条件．

Answer 1

分析 求出数列的通项公式，结合等差数列的定义进行求解即可．

解答 解：∵S_n=（n+1）²+c，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n+1）²+c-n²-c=2n+1，
当n=1时，a₁=S₁=2²+c=4+c，
若数列为等差数列，则a₁=4+c适合a_n=2n+1，
即4+c=2+1，解得c=-1，
即{a_n}是等差数列的充要条件是c=-1．

点评 本题主要考查等差数列的判断，利用等差数列的定义结合当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，求出数列的通项公式是解决本题的关键．