题目内容

函数f（x）= $数学公式$ +mx-1，g（x）=mx²- $数学公式$
（1）判断f（x）的单调性；
（2）若m＞0且函数f（x）≥g（x）在x∈（0， $数学公式$ ]上有解，求m的范围．

解：（1）∵函数f（x）= $\text{[math]}$ +mx-1，
∴f′（x）=x²+m．
∵m≥0时，f′（x）=x²+m≥0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
m＜0时，由f′（x）=x²+m＞0，得，x＜- $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．
由f′（x）=x²+m＜0，得，- $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$ ．
∴当m＜0时，f（x）在（-∞，- $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ）是单调递增；在（ $\text{[math]}$ ）是单调递减．
（2）∵数f（x）= $\text{[math]}$ +mx-1，g（x）=mx²- $\text{[math]}$ ，
令F（x）=f（x）-g（x）= $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ]上有解，
∴F（x）_max≥0．
∵F′（x）=x²+m（1-2x）≥0，
∴F（x）在（0， $\text{[math]}$ ]上单调递增，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴F（x）_max=F（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ≥0，
∴ $\text{[math]}$ ．
故m的范围是[ $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由函数f（x）= $\text{[math]}$ +mx-1，知f′（x）=x²+m．由此能判断f（x）的单调性．
（2）令F（x）=f（x）-g（x）= $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ]上有解，则F（x）_max≥0．由F′（x）=x²+m（1-2x）≥0，知F（x）在（0， $\text{[math]}$ ]上单调递增， $\text{[math]}$ ，由此能求出m的范围．
点评：本题考查利用函数导数求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．