Question

已知m∈R，函数f（x）=mx-

m-1

x

-lnx，g(x)=

1

2

+lnx
（I）求g（x）的极小值；
（Ⅱ）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）确定函数g（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的极小值；
（Ⅱ）求导函数，y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调增函数，转化为y′=m+

m

x2

-

2

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值，即可求实数m的取值范围；

解答：解：（Ⅰ）函数g（x）的定义域为（0，+∞）.g′(x)=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

．
当x∈（0，1），g'（x）＜0，当x∈（1，+∞），g'（x）＞0．
∴x=1为极小值点．极小值g（1）=1．
（Ⅱ）∵y=mx-

m-1

x

-

1

x

-2lnx=mx-

m

x

-2lnx．
∴y′=m+

m

x2

-

2

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
即m≥

2x

x2+1

在x∈[1，+∞）上恒成立．
又

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，所以m≥1．
所以，实数m的取值范围为[1，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，考查不等式的证明，分离参数，确定函数的最值是关键．