Question

在△ABC中，已知sin（A+B）=sinB+sin（A-B）．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若，，求．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据sinB不为0，得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式||²=||²+||²-2||•||•cosA，将已知条件利用平面向量的数量积运算法则化简后代入求出||²+||²的值，把所求式子平方并利用完全平方公式展开，将各自的值代入开方即可求出值．
解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）原式可化为：sinB=sin（A+B）-sin（A-B）
=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，…（3分）
∵B∈（0，π），∴sinB＞0，
∴cosA=，…（5分）
又A∈（0，π），∴A=；…（6分）
（Ⅱ）由余弦定理，得||²=||²+||²-2||•||•cosA，…（8分）
∵||=7，•=||•||•cosA=20，
∴||²+||²=89，…（10分）
∵|+|²=||²+||²+2•=89+40=129，…（12分）
∴|+|=．…（13分）
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算法则，以及向量模的计算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．