Question

已知定义在正实数集上的函数，g（x）=3e²lnx+b（其中e为常数，e=2.71828…），若这两个函数的图象有公共点，且在该点处的切线相同．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）当x∈[1，e]时，恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求导数，利用函数与g（x）=3e²lnx+b的图象有公共点为（x，y），建立方程组，即可求得实数b的值；
（Ⅱ）原不等式可化为a（x-lnx）≥x²-2x，分离参数可得在[1，e]上恒成立，构造，x∈[1，e]，确定F（x）在[1，e]上为增函数，求出函数的最大值，即可求得实数a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）求导数可得：f'（x）=x+2e，…（2分）
设函数与g（x）=3e²lnx+b的图象有公共点为（x，y）
由题意得 …（4分）
解得：…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以，即a（x-lnx）≥x²-2x…（1）
当x∈[1，e]时，lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，∴x-lnx＞0
所以由（1）式可得在[1，e]上恒成立   …（9分）
设，x∈[1，e]，则…（11分）
显然有x-1≥0，又lnx≤1，∴x+2-2lnx＞0
所以F'（x）≥0（仅当x=1时取等号），
∴F（x）在[1，e]上为增函数 …（12分）
故
所以实数a的取值范围是．…（14分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，确定函数的最值，属于中档题．