Question

已知定义在正实数集上的函数f（x）=x²+4ax+1，g（x）=6a²lnx+2b+1，其中a＞0．
（Ⅰ）设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x），证明：若a≥

3

-1，则对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂有

h(x2)-h(x1)

x2-x1

＞8．

Answer 1

分析：（I）先求在公共点处的切线方程，只须分别求出其斜率的值，利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．利用两个斜率相等得到等式，从而用a表示b．最后再利用导数的方法求b的最大值即可，研究函数的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．
（II）不妨设x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，

h(x2)-h(x1)

x2-x1

＞8变形得h（x₂）-8x₂＞h（x₁）-8x₁令T（x）=h（x）-8x，接下来利用导数研究它的单调性即可证x₁＞x₂命题成立．

解答：解：（Ⅰ）设f（x）与g（x）交于点P（x₀，y₀），则有f（x₀）=g（x₀），
即x₀²+4ax₀+1=6a²lnx₀+2b+1（1）
又由题意知f'（x₀）=g'（x₀），即2x0+4a=

6a2

x0

（2）（2分）
由（2）解得x₀=a或x₀=-3a（舍去）
将x₀=a代入（1）整理得b=

5

2

a2-3a2lna（4分）
令h(a)=

5

2

a2-3a2lna，则h'（a）=2a（1-3lna）a∈(0，

3	e

)时，
h（a）递增，a∈(

3	e

，+∞)时h（a）递减，所以h（a）≤h(

3	e

)=

3

2

e

2

3

即b≤

3

2

e

2

3

，b的最大值为

3

2

e

2

3

（6分）

（Ⅱ）不妨设x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，

h(x2)-h(x1)

x2-x1

＞8，
变形得h（x₂）-8x₂＞h（x₁）-8x₁
令T（x）=h（x）-8x，T′(x)=2x+

6a2

x

+4a-8，
∵a≥

3

-1，
∴T′(x)=2x+

6a2

x

+4a-8≥4

3

a+4a-8≥4(

3

+1)(

3

-1)-8≥0，
T（x）在（0，+∞）内单调增，T（x₂）＞T（x₁），同理可证x₁＞x₂命题成立（12分）

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．