Question

已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积.

Answer 1

解：如图，设过P、A、B的平面截球所得的截面圆为⊙O₁，PO₁与球面的另一交点为D.

∵PB⊥PA，

∴AB是⊙O₁的直径，且AB=a.

∵PC⊥PA，PC⊥PB,

∴PC⊥平面PAB.

    又OO₁⊥平面PAB,

∴OO₁∥PC.

    过OO₁、PC作平面α，平面α与球面的交线为大圆O.则直线DP为平面α和平面PAB的交线，点O₁∈PD，连结CD，在⊙O中，

∵PC⊥PD，∠CPD为直角，∴CD为⊙O的直径.

    设⊙O的半径为R，在Rt△CPD中，CD= a.

    即2R=a,

∴R=a.

∴S_球=4πR²=3πa²，V_球=πR³=πa³.