Question

已知球O的表面上有P、A、B、C四点,且PA、PB、PC两两互相垂直.若PA=PB=PC=a,求这个球的表面积和体积.

Answer 1

解析:设过P、A、B的平面截球所得的截面圆为⊙O₁,PO₁与球面的另一交点为D.

∵PB⊥PA,

∴AB是⊙O₁的直径且AB=.

∵PC⊥PA,PC⊥PB,

∴PC⊥平面PAB.

又OO₁⊥平面PAB,∴OO₁∥PC.

过OO₁、PC作平面α,则平面α截球面为大圆O.直线DP为平面α和平面PAB的交线，点O₁∈PD,连结CD.在⊙O中,

∵PC⊥PD,∠CPD为直角,

∴CD为⊙O的直径.

设⊙O的半径为R,在Rt△CPD中,CD=,即2R=a,

∴R=.∴S_球=4πR²=3πa²,V_球=.

小结：本题先求出PD=AB=a,再利用直角三角形CDP列出a和R之间的关系,并求出R之后求得了表面积和体积.实际上,以PC为棱的正方体的对角线的长等于球的直径,这是因为,以PC为棱的正方体的外接球就是球O.