Question

公差不为零的等差数列{a_n}中，已知其前n项和为S_n，若S₈=S₅+45，且a₄，a₇，a₁₂成等比数列
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n
（Ⅱ）当b_n=

1

Sn

时，求数列{b_n}的前n和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等差数列的性质和S₈=S₅+45得a₇=15，再由通项公式代入另一个条件列出方程组，求出首项和公差，代入通项公式化简即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的前n项和公式求出S_n，再代入b_n=

1

Sn

化简后再裂项，代入数列{b_n}的前n和T_n化简．

解答：解：（Ⅰ）由S₈=S₅+45得，S₈-S₅=45，
∴a₆+a₇+a₈=45，即3a₇=45，得a₇=15，
又∵a72=a4•a12，设公差为d≠0，
∴

a1+6d=15 (a1+6d)2=(a1+3d)(a1+11d)

解得

a1=3 d=2

，
∴a_n=2n+1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn=

n(3+2n+1)

2

=n(n+2)
∴bn=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，

Tn=b1+b2+b3+…+bn = 1 2 [( 1 1 - 1 3 )+( 1 2 - 1 4 )+…+( 1 n - 1 n+2 )] = 1 2 ( 1 1 + 1 2 - 1 n+1 - 1 n+2 )

∴Tn=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．

点评：本题考查了等差和等比数列的性质，通项公式和前n项和公式的应用，以及裂项相消法求数列的前n项和．