Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点y在轴上，焦距为，且过点M。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点的直线l交椭圆C于A、B两点，且N恰好为AB中点，能否在椭圆C上找到点D，使△ABD的面积最大？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由。

Answer 1

（1）（2）存在，

试题分析：（1）用椭圆的定义可求，根据焦距和可求；也可将点代入设出的椭圆方程解方程组求。（2）用点差法求直线的斜率，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，直线与椭圆的焦点即为所求点。
试题解析：（1）（方法一）依题意，设椭圆方程为，  1分
则，                  2分
因为椭圆两个焦点为，所以
="4"   4分
                   5分
椭圆的方程为                 6分
（方法二）依题意，设椭圆方程为，      1分
则，即，解之得    5分
椭圆C的方程为                  6分
（2）如图

（方法一）设两点的坐标分别为，
则                  7分
     ①        ②
①-②，得,
       9分
设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为
联立方程组，消去整理得
由判别式得        12分
由图知，当时，与椭圆的切点为，此时
的面积最大

所以点的坐标为      14分
（方法二）设直线的方程为，联立方程组，
消去整理得 
设两点的坐标分别为，则
所以直线AB的方程为，即 9分（以下同法一）