Question

设函数

   （I）若的极值点，求实数；

   （II）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立，注：为自然对数的底数。

Answer 1

本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分14分。

   （I）解：求导得

因为的极值点，

所以

解得经检验，符合题意，

所以

（II）解：①当时，对于任意的实数a，恒有成立；

②当时，由题意，首先有，

解得，

由（I）知

令

且

又内单调递增

所以函数内有唯一零点，

记此零点为

从而，当时，

当

当时，

即内单调递增，在内单调递减，

在内单调递增。

所以要使恒成立，只要

成立。

由，知

                                  （3）

将（3）代入（1）得

又，注意到函数内单调递增，

故。

再由（3）以及函数内单调递增，可得

由（2）解得，

所以

综上，a的取值范围是