Question

（本小题满分12分）
点M在椭圆上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．
（I）若圆M与y轴相交于A、B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程；
（II）已知点F（1，0），设过点F的直线l交椭圆于C、D两点，若直线l绕点F任意转动时，恒有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（I）椭圆方程为
（II）a的取值范围是

解：（I）ABM是边长为2的正三角形，∴圆的半径r=2，
∴M到y轴的距离                                      …………（2分）
又圆M与x轴相切，∴当∴          …………（4分）
∴ 
∴解得a=3或a=－1（舍去），则 
故所求椭圆方程为                                  …………（6分）
（II）（方法1）①当直线l垂直于x轴时，把x=1代入，得

解得（舍去），即              …………（8分）
②当l不垂直x轴时，设，
直线AB的方程为
得
则 

得恒成立．
…………（10分）

，
由题意得，恒成立．
当不是恒成立的．
当，恒成立．
当恒成立,
，
解得
综上，a的取值范围是                               …………（12分）
（方法2）设
①当直线CD与x轴重合时，有
恒有          …………（8分）
②当直线C不与x轴重合时，设直线CD的方程为
整理得

恒为钝角，
则恒成立            …………（10分）


又恒成立，
即恒成立．当时，

解得
综上，a的取值范围是                               …………（12分）