题目内容
【题目】如图所示的几何体是由棱台
和棱锥
拼接而成的组合体，其底面四边形
是边长为2的菱形，
，
平面
.
（1）求证：
；
（2）求平面
与平面
所成锐角二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】试题分析：（1）根据菱形性质得
，根据线面垂直得
，再根据线面垂直判定定理得
平面
，即得
.最后根据
得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得法向量，根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角关系确定所成锐角二面角的余弦值.
试题解析：(1)证明：因为底面四边形
是菱形，
∴，
又∵
平面，
∴，
∵
， ∴平面，
∴.
又棱台
中，
∴
(2)建立空间直角坐标系如图所示， 则
，
， 
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
,
∴
，
.
令
，得
， ∴
；
设平面
的法向量为
，则
,
∴
，
令
，得
，
， ∴
，
设平面与平面所成锐二面角为
，
则
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
练习册系列答案
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【题目】某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳 | 不喜欢游泳 | 合计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合计 |
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为
．
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率．
下面的临界值表仅供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
）
