Question

【题目】如图，在三棱柱中，侧面底面，，，分別为棱的中点

（1）求三棱柱的体积；

（2）在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）第（1）问，先证明底面ABC,计算出△ABC的面积，再利用柱体的体积公式求三棱柱的体积.(2)第(2)问，先假设在直线上存在点P，使得CP||平面AEF，再找到点P的位置，再求AP的长.

试题解析：

（1）三棱柱中，所以.

因为，所以.

又因为，

连接 ,所以△是边长为2的正三角形.

因为E是棱的中点，所以，且

又，所以

又侧面底面ABC，且侧面底面ABC=AB，

又AE侧面，所以底面ABC，

所以三棱柱的体积为

；

（2）在直线上存在点P，使得CP||平面AEF.

证明如下：连接并延长，与的延长线相交，设交点为.连接.

因为，故

由于为棱的中点，所以，故有

又为棱的中点，故为的中位线，所以

又平面AEF，平面AEF， 所以平面AEF.

故在直线上存在点P，使得平面AEF.

此时，所以 .