Question

如图：在三棱锥D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E为BC的中点，F在棱AC上，且

（1）求三棱锥D－ABC的表面积；

（2）求证AC⊥平面DEF；

（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）先证EF⊥AC，再证DE⊥AC，即可证AC⊥平面DEF

（3）存在这样的点N，当CN＝时，MN∥平面DEF．

【解析】

试题分析：

解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC= a．设G为CD的中点，则CG= a，AG=a．∴S_△ABC=S_△ABD=a²，S_△BCD=a²，S_△ACD=a²．三棱锥D-ABC的表面积为S_△ACD=

（2）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．

（3）存在这样的点N，当CN=CA时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE=O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO=CM．∴当CF=CN时，MN∥OF．∴CN=?CA=CA．

考点：棱锥的结构特征

点评：本题考查棱锥的结构特征，证明线面垂直，线面平行，考查逻辑思维能力，是中档题．