Question

（本小题满分12分）
如图，在三棱锥D－ABC中，已知△BCD是正三角
形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E为BC的中点，
F在棱AC上，且AF＝3FC．
（1）求三棱锥D－ABC的表面积；
（2）求证AC⊥平面DEF；
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，
使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不
存在，试说明理由．

Answer 1

解（证明）（1）因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD．
因为△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，所以AD＝AC＝．
设G为CD的中点，则CG＝，AG＝．
所以，，．
三棱锥D－ABC的表面积为
（2）取AC的中点H，因为AB＝BC，所以BH⊥AC．
因为AF＝3FC，所以F为CH的中点．
因为E为BC的中点，所以EF∥BH．则EF⊥AC．
因为△BCD是正三角形，所以DE⊥BC．
因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥DE．
因为AB∩BC＝B，所以DE⊥平面ABC．所以DE⊥AC．
因为DE∩EF＝E，所以AC⊥平面DEF
（3）存在这样的点N，
当CN＝时，MN∥平面DEF．
连CM，设CM∩DE＝O，连OF．
由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．
所以当CF＝CN时，MN∥OF．所以CN＝

解析