Question

已知F₁，F₂是椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，若∠F₁PF₂=60°，则离心率的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：先根据椭圆定义得到|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁，再利用余弦定理得到cos120°==，求出 x=，利用椭圆的范围列出不等式求出离心率的范围．
解答：解：设，P（x₁，y₁），F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，
则|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得cos120°==，
解得 x=，∵x₁²∈（0，a²]，
∴0≤＜a²，
即4c²-a²≥0．且e²＜1
∴e=≥．
故椭圆离心率的取范围是 e∈[，1）．
故答案为：
点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F₁PF₂值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．