Question

函数的反函数为f^-1（x），数列{a_n}和{b_n}满足：，a_n+1=f^-1（a_n），函数y=f^-1（x）的图象在点（n，f^-1（n））（n∈N^*）处的切线在y轴上的截距为b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列；的项中仅最小，求λ的取值范围；
（3）令函数，0＜x＜1．数列{x_n}满足：，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n），（其中n∈N^*）．证明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函数f（x）的反函数．，由此能求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由，知，所以y=f^-1（x）在点（n，f^-1（n））处的切线方程为，由此入手能求出λ的取值范围．
（3）．所以，又因0＜x_n＜1，则x_n+1＞x_n．由此入手能够证明．
解答：解：（1）令，解得；由0＜x＜1，解得y＞0．
∴函数f（x）的反函数．
则，．
∴是以2为首项，1为公差的等差数列，故．（4分）

（2）∵，∴，
∴y=f^-1（x）在点（n，f^-1（n））处的切线方程为，
令x=0得．∴．
∵仅当n=5时取得最小值，∴．
∴λ的取值范围为（9，11）（8分）

（3）．
所以，
又因0＜x_n＜1，则x_n+1＞x_n（10分）
显然．
∴
∴
=（12分）
∵，∴，∴
∴（14分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．