Question

已知函数，其中是自然对数的底数，.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）解：因为，，

所以．                               

令，得．                               

当变化时，和的变化情况如下：

	↘		↗

故的单调减区间为；单调增区间为．

（Ⅱ）解：结论：函数有且仅有一个零点.                   

理由如下：

由，得方程，           

显然为此方程的一个实数解. 

所以是函数的一个零点.                       

当时，方程可化简为.                          

设函数，则，

令，得．

当变化时，和的变化情况如下：

	↘		↗

即的单调增区间为；单调减区间为．

所以的最小值.                  

因为 ，

所以，

所以对于任意，，

因此方程无实数解．

所以当时，函数不存在零点.

综上，函数有且仅有一个零点.