Question

（本小题满分13分）设函数．

（Ⅰ）当时,求函数的单调区间；

（Ⅱ）设为的导函数，当时，函数的图象总在的图象的上方，求的取值范围．

Answer 1

（1）函数的单调增区间为，；单调递减区间为；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将代入，利用导数除法的运算法则计算，令解出函数的增区间，令解出函数的减区间；第二问，先写出解析式，由于函数的图象总在的图象的上方，所以，转化为在恒成立，继续转化为恒成立，构造函数，通过求导判断函数的单调区间，求出的最小值，最后解出a的取值范围.

试题解析：（1）当时，.

∵，得，解得或；

∵，得，解得.

∴函数的单调增区间为，；单调递减区间为.

（2）∵.

又∵函数的图象总在的图象的上方，

∴，即在恒成立.

又∵，∴，∴.

又∵，∴.

设，则即可.

∵.

∵，，解得；

∵，，解得.

∴在区间单调递增，在区间单调递减.

∴的最小值为或.

∵，，作差可知，

∴.

∴a的取值范围是.

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题.