Question

已知函数

（Ⅰ）若为的极值点，求实数的值；

（Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当时，方程有实根，求实数的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）0

【解析】

试题分析：（I）……2分

因为为的极值点，所以，即，

解得。经检验，合题意……4分（没有写经检验的减1分）

（II）因为函数在上为增函数，所以

在上恒成立。

?当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故 符合题意。 ……………………6分                                   

?当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，

故只能，所以在上恒成立。  

令函数，其对称轴为，

因为，所以，

要使在上恒成立，

只要即可，即，

所以。

因为，所以。

综上所述，a的取值范围为。………8分

（Ⅲ）当时，方程可化为。

问题转化为在上有解，即求函数的值域。

因为函数，令函数，………10分

则，

所以当时，，从而函数在上为增函数，

当时，，从而函数在上为减函数，

因此。

而，所以，因此当时，b取得最大值0.  ………12分  

考点：函数导数的几何意义及利用导数求极值最值

点评：本题中的不等式恒成立或方程有实根转化为求构造的新函数的最值问题，这是函数题中最常用的转化方法