Question

二次函数f（x）有f（0）=-3，f（1）=-4，f（3）=0
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知方程|f（x）|=m的解有2个，求m的取值集合；
（3）求不等式

f(x)

f(x)-5

≤0的解集．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c，根据题意建立关于a、b、c的方程级并解之得f（x）的解析式为f（x）=x²-2x-3；
（2）同一坐标系里作出y=|x²-2x-3|的图象与直线y═m，如图所示，讨论f（x）的取值可得方程|f（x）|=m的解有2个时，m的取值集合为{m|m=0或m＞4}；
（3）原不等式等价于0≤f（x）＜5，结合（2）的f（x）图象，解一元二次不等式，即得原不等式的解集为（-2，4）．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，得

f(0)=c=-3 f(1)=a+b+c=-4 f(3)=9a+3b+c=0

，解之得

a=1 b=-2 c=-3

，
∴f（x）的解析式为f（x）=x²-2x-3；
（2）方程|f（x）|=m即|x²-2x-3|=m，
当x∈[-1，3]时，y=|x²-2x-3|=-x²+2x+3，图象为开口向下的抛物线弧，
当x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）时，y=|x²-2x-3|=x²-2x-3，
图象为开口向上的抛物线弧，
因此，作出y=|x²-2x-3|的图象与直线y═m，如图所示
求得A（1，4），可得当m＞4或m=0时，两个图象恰好有两个不同的交点，
∴方程|f（x）|=m的解有2个时，m的取值集合为{m|m=0或m＞4}
（3）不等式

f(x)

f(x)-5

≤0可化为0≤f（x）＜5
由（2）中作出的图象，可得
当x∈[-1，3]时，f（x）=-x²+2x+3的最大值为4，最小值为0，满足条件；
当x∈（-∞，-1）∪（3，+∞），f（x）=x²-2x-3＜5，解之得-2＜x＜-1或3＜x＜4
综上所述，不等式

f(x)

f(x)-5

≤0的解集为（-2，4）

点评：本题用待定系数法求二次函数的解析式，并讨论方程和不等式的解，着重考查了二次函数的图象与性质、一元二次不等式的解法和函数与方程等知识，属于基础题．