Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x-1）=f（3-x）且方程f（x）=2x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由方程ax²+bx-2x=0有等根，则△=0，得b，又由f（x-1）=f（3-x）知此函数图象的对称轴方程为x=-

b

2a

=1，得a，从而求得f（x）．
（2）由f（x）=-（x-1）²+1≤1，知4n≤1，即n≤

1

4

．由对称轴为x=1，知当n≤

1

4

时，f（x）在[m，n]上为增函数．所以有

-m2+2m=4m -n2+2n=4n

，最后看是否满足m＜n≤

1

4

即可．

解答：解：（1）∵方程ax²+bx-2x=0有等根，∴△=（b-2）²=0，得b=2．
由f（x-1）=f（3-x）知此函数图象的对称轴方程为x=-

b

2a

=1，得a=-1，故f（x）=-x²+2x．
（2）∵f（x）=-（x-1）²+1≤1，∴4n≤1，即n≤

1

4

．
而抛物线y=-x²+2x的对称轴为x=1，∴当n≤

1

4

时，f（x）在[m，n]上为增函数．
若满足题设条件的m，n存在，则

f(m)=4m f(n)=4n

即

-m2+2m=4m -n2+2n=4n

?

m=0或m=-2 n=0或n=-2

又m＜n≤

1

4

．
∴m=-2，n=0，这时，定义域为[-2，0]，值域为[-8，0]．
由以上知满足条件的m，n存在，m=-2，n=0．

点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了二次函数解析式的常用解法及分类讨论，转化思想．