Question

【题目】已知直线与、轴交于、两点.

（Ⅰ）若点、分别是双曲线的虚轴、实轴的一个端点，试在平面上找两点、，使得双曲线上任意一点到、这两点距离差的绝对值是定值.

（Ⅱ）若以原点为圆心的圆截直线所得弦长是，求圆的方程以及这条弦的中点.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ， 或， ．(Ⅱ)圆的方程为，弦的中点为．

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由几何关系可知， 是双曲线的焦点，则， 或， ；

(Ⅱ)利用弦长公式可求得半径为3，求得圆的方程为，则弦的中点为．

试题解析：

（Ⅰ）∵直线与轴， 轴交于， 两点，∴， ，

又、分别是双曲线的虚轴，实轴的一个端点，

∴双曲线中， ， ，

由题可知， 是双曲线的焦点，

∴， 或， ．

（Ⅱ）圆心到直线的距离，

∴，

∴圆的方程为，

设的中点为则：

，解，

即弦的中点为．