Question

函数y=cos³x+sin²x-cosx的最大值等于

32

27

．

Answer 1

分析：将函数y=cos³x+sin²x-cosx转化为y=cos³x-cos²x-cosx+1，利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：∵y=cos³x+sin²x-cosx
=cos³x-cos²x-cosx+1
=cos²x（cosx-1）+（1-cosx）
=（1-cosx）（1-cos²x）
=（1-cosx）（1-cosx）（1+cosx）
=

1

2

（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx），
∵1-cosx≥0，2+2cosx≥0，
∴（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx）≤(

(1-cosx)+(1-cosx)+(2+2cosx)

3

)3=

64

27

，
当且仅当1-cosx=2+2cosx，即cosx=-

1

3

时取“=”．
∴y=

1

2

（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx）≤

32

27

．
故答案为：

32

27

．

点评：本题考查复合三角函数的单调性，着重考查基本不等式的应用，考查分析、转化与运算能力，属于中档题．